ANALIZA MATEMATYCZNA

Elżbieta Ferenstein, Bogdan Osłowski

Celem wykładu jest przedstawienie podstawowych pojęć i zagadnień występujących w analizie matematycznej, które są niezbędne w ogólnym wykształceniu technicznym ( ale również ekonomicznym, społecznym, przyrodniczym ), i z których większość będzie wykorzystywana w dalszych etapach kształcenia informatycznego.

Plan wykładów

Wykład 1 Ciągi liczbowe

Określenie ciągu liczbowego, różne rodzaje ciągów, określenie działań arytmetycznych na ciągach, granice właściwe i niewłaściwe ciągów, twierdzenia o granicach, ważne ciągi i ich granice, przykłady obliczania granic ciągów.

Wykład 2 Szeregi liczbowe

Określenia szeregu liczbowego, ciągu sum częściowych oraz sumy szeregu. Przykłady szeregów zbieżnych, rozbieżnych. Warunek konieczny zbieżności szeregu. Badanie zbieżności szeregu geometrycznego. Kryteria zbieżności szeregów o wyrazach dodatnich. Badanie zbieżności szeregu Dirichleta. Szeregi o wyrazach dowolnych, zbieżność szeregów naprzemiennych. Mnożenie szeregów.

Wykład 3 Granica i ciągłość funkcji

Definicje Heinego i Cauchy'go granicy funkcji w punkcie. Granice jednostronne. Granice w nieskończoności, granice niewłaściwe. Twierdzenia o granicach właściwych i niewłaściwych funkcji. Ciągłość funkcji, funkcje nieciągłe. Działania na funkcjach ciągłych zachowujące ciągłość. Twierdzenia o funkcjach ciągłych. Własność punktu stałego.

Wykład 4 Pochodna funkcji

Określenie ilorazu różnicowego i jego interpretacja geometryczna. Pochodna właściwa funkcji. Pochodne funkcji elementarnych. Styczna do wykresu funkcji, interpretacja geometryczna pochodnej. Pochodne jednostronne funkcji, pochodne niewłaściwe. Pochodne wyższych rzędów.

Wykład 5 Twierdzenia o funkcjach posiadających pochodne

Twierdzenia Rolle'a i Lagrange'a, oraz ich interpretacje geometryczne.

Reguła de l'Hospitala. Szeregi Taylora i Maclaurina.

Wykład 6 Zastosowania pochodnych

Badanie przebiegu funkcji: analiza funkcji (dziedzina, przeciwdziedzina, asymptoty ), przedziały monotoniczności, ekstrema funkcji, wypukłość, wklęsłość, punkty przegięcia, sporządzenie tabeli zmienności i wykresu funkcji.

Wykład 7 Zastosowania pochodnych

Aproksymacja funkcji przy pomocy wielomianu Taylora, postacie reszty.

Przybliżone rozwiązywanie równań algebraicznych. Optymalizacja.

Wykład 8 Funkcja pierwotna, całka nioznaczona

Określenie funkcji pierwotnej i całki nieoznaczonej. Liniowość całki nieoznaczonej. Całkowanie przez części i całkowanie przez podstawienie. Całkowanie funkcji wymiernych, funkcji trygonometrycznych oraz niektórych funkcji niewymiernych.

Wykład 9 Całka oznaczona

Określenia sumy całkowej i całki oznaczonej Riemanna. Interpretacje geometryczne i fizyczne całek oznaczonych. Twierdzenia o całkowaniu przez części i całkowaniu przez podstawienie. Podstawowe własności całki oznaczonej. Podstawowe twierdzenia rachunku całkowego - ciągłość i różniczkowalność funkcji górnej granicy całkowania.

Wykład 10 Zastosowania całek oznaczonych

Przykłady zastosowań całek oznaczonych do obliczania długości łuków krzywych, pól obszarów płaskich, objętości brył obrotowych.

Przybliżone metody obliczania całek oznaczonych.

Wykład 11 Równania różniczkowe zwyczajne

Określenie rozwiązania ogólnego i szczególnego równania rózniczkowego zwyczajnego. Równania rózniczkowe o zmiennych rozdzielonych. Równania jednorodne. Przykłady zastosowań równań różniczkowych. Równania różniczkowe liniowe jednorodne rzędu pierwszego.

Wykład 12 Równania różniczkowe zwyczajne

Metody rozwiązywania równań różńiczkowych liniowych niejednorodnych rzędu pierwszego. Równania różniczkowe liniowe rzędu drugiego o stałych współczynnikach.

Wykład 13 Funkcje wielu zmiennych

Zbiory w przestrzeni kartezjańskiej n -wymiarowej. Funkcje rzeczywiste n - zmiennych. Granica i ciągłość funkcji dwóch i trzech zmiennych. Pochodne cząstkowe.

Wykład 14 Pochodna kierunkowa

Rózniczkowanie funkcji złożonej. Pochodna kierunkowa. Gradient funkcji. Całki zależne od parametru.

Wykład 15 Całki wielokrotne

Całka podwójna, interpretacja geometryczna całki podwójnej. Obliczanie całki podwójnej po obszarze normalnym. Całka potrójna. Obliczanie całki po prostopadłościanie i po obszarze normalnym. Interpretacja geometryczna całki potrójnej.

Literatura:

1. Marian Gewert i Zbigniew Skoczylas, Analiza matematyczna 1, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2001.

2. Marian Gewert i Zbigniew Skoczylas, Analiza matematyczna 2, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2002.

3. W. Żakowski, G. Decewicz, Matematyka, część I, Podręczniki Akademickie, WNT, Warszawa 1991.

4. W. Żakowski, W. Kołodziej, Matematyka, część II, Podręczniki Akademickie, WNT, Warszawa 1992.

5. W. Żakowski, W. Leksiński, Matematyka, część IV, Podręczniki Akademickie, WNT, Warszawa 1995.

Studia internetowe PJWSTK, Rok akademicki 2003/2004