Para uporządkowana, jest to układ (x,y) dwóch obiektów, w których x jest poprzednikiem pary, a y następnikiem. Oczywiście, mając jakiekolwiek dwa obiekty możemy zawsze utworzyć parę uporządkowaną wskazując, który z nich jest poprzednikiem a który jest następnikiem. Na przykład, Kubuś Puchatek i jego Pan tworzą znaną parę uporządkowaną (Kubuś, Krzyś).

Parę uporządkowaną należy odróżnić od, po prostu, pary elementów lub zbioru dwuelementowego. {Kubuś, Krzyś} jest dwuelementowym zbiorem, w którym żaden z elementów nie jest w żaden sposób wyróżniony, nie mamy ustalonej kolejności obiektów. W parze uporządkowanej (Kubuś, Krzyś) kolejność jest istotna: Kubuś jest poprzednikiem, a Krzyś następnikiem w tej parze uporządkowanej.

W 1921 roku Kazimierz Kuratowski, podał definicję pary uporządkowanej (x, y) jako zbioru, którego elementami są dwa zbiory: jednoelementowy {x} i dwuelementowy {x, y},

Takie pojęcie pary uporządkowanej jest zgodne z warunkiem równości par uporządkowanych : dwie pary uporządkowane (x,y) i (x', y') są równe, gdy mają równe zarówno poprzedniki jak i następniki

Wynika stąd, że

Z tej definicji wynika, że jeśli jeden ze zbiorów jest pusty, to produkt X´ Y też jest zbiorem pustym, bo nie można utworzyć ani jednej pary uporządkowanej. Jeśli natomiast X ma m elementów, a Y n elementów, to można utworzyć nm różnych par.

Pytanie 1: Czy dla dowolnych zbiorów X´ Y = Y´ X ?

Przykład 2.1

1. Na płaszczyznę Euklidesową przywykliśmy patrzeć jako na zbiór wszystkich punktów postaci (x, y), gdzie x jest odciętą punktu a y rzędną punktu oraz xÎR i yÎR. Zatem płaszczyzna rzeczywista to po prostu produkt kartezjański R´R.
2. Podobnie zbiór liczb zespolonych jest produktem R´R. Dowolna liczba zespolona (x+iy) o części rzeczywistej x i części urojonej y, to nic innego jak para uporządkowana o poprzedniku x i następniku y.
3. Jeśli X= {1,2}, a Y = {a,b,c}, to produkt kartezjański X ´Y składa się z par uporządkowanych (1,a), (1,b), (1,c), (2,a), (2,b), (2,c).
4. Niech X i Y będą w tym przykładzie przedziałami w zbiorze liczb rzeczywistych, np. X=[2,4] a Y=[3,6]. Wtedy elementy produktu kartezjańskiego X ´Y wypełniają prostokąt, którego rzutami na osie układu są odpowiednio zbiory X i Y, por. Rys. 2.1.

Rys. 2.1 Produkt kartezjański zbiorów X=[2,4] i Y=[3,6].

W lemacie przedstawionym poniżej zanotujemy związki produktu kartezjańskiego z innymi operacjami na zbiorach.

Dowody takich własności najczęściej przeprowadza się pokazując, że uporządkowana para (x, y) należy do lewej strony równości wtedy i tylko wtedy, gdy należy do prawej strony równości. Dla przykładu rozważmy trzecią z równości: (x, y)Î X´ (A\B) wttw x Î X i yÎ (A \ B) wttw x Î X , yÎ A i y Ï B wttw : (x, y) Î (X ´ A) i : (x, y) Ï (X ´ B) wttw (x, y) Î (X ´ A) \ (X ´ B).

Nie będziemy tu prezentować dokładnych dowodów pozostałych równości, natomiast posłużymy się ilustracją na płaszczyźnie, by przekonać czytelnika o słuszności drugiej z równości, por Rys. 2.2. Niech X będzie pewnym zbiorem zaznaczonym na osi odciętych, a A i B pewnymi podzbiorami zaznaczonymi na osi rzędnych. Lewa strona równości wymaga najpierw wyliczenia przecięcia A Ç B, co daje w wyniku prostokąt zaznaczony na rysunku 2.2a. Prawa strona równości wymaga policzenia osobno produktów X ´ A i X ´ B, a potem wyliczenia ich przecięcia, por. Rys. 2.2b. Otrzymane zbiory są identyczne.

Rys. 2.2 Ilustracja graficzna równości X ´ (A Ç B) = (X ´ A) Ç (X ´ B).

Zadanie 1

Udowodnić równość zbiorów X ´ (A È B) = (X ´ A) È (X ´ B).