Przedstawione do tej pory operacje (działania) na zbiorach miały co najwyżej dwa argumenty. Można je jednak uogólnić w prosty sposób na dowolną, skończoną lub nieskończoną, liczbę argumentów.

Oczywiście, gdy I składa się tylko z dwóch indeksów, np. I={1, 2}, to

Jeżeli wszystkie zbiory rodziny A należą do tej samej przestrzeni U, to zachodzą uogólnione prawa De Morgana sformułowane w twierdzeniu 1.4.

Dowód.

Ad. 1) Załóżmy, że x należy do lewej strony równości (1). Oznacza to, na mocy definicji, że x nie należy do żadnego ze zbiorów A_i. Stąd x należy do każdego z uzupełnień -A_i i w konsekwencji x należy do przecięcia ìü _{iÎ I} (- A_i ).

Ad. 2) Jeśli element x należy do zbioru -ìü _{iÎ I} A_i , to nie należy do przecięcia uogólnionego ìü _{iÎ I} A_i. Zatem, na mocy definicji 1.8, dla pewnego k, x Ï A_k. Stąd x Î -A_k, czyli xÎ îþ _{iÎ I} (- A_i ).J

Przykład 1.10

1. Niech A_i = {x Î R : x < i} dla wszystkich liczb naturalnych i. Wtedy

îþ _{iÎ I} A_i = R, a ìü _{iÎ I} A_i = {x Î R : x < 0}.



2. Niech B_i = {x Î R : -1/i <x < 1/i}dla wszystkich liczb naturalnych i>0. Wtedy

îþ _{iÎ I} B_i = (-1,1), a ìü _{iÎ I} B_i = {0}.

Pytanie 8: Niech {A_i : iÎ I}będzie indeksowaną rodziną zbiorów pewnej przestrzeni.

Które z wymienionych zależności są, a które nie są prawdziwe?

1. Dla dowolnego kÎ I, A_k Í îþ _{iÎ I} A_i.

2. Dla dowolnego kÎ I, A_k Í ìü _{iÎ I} A_i.

3. Dla dowolnego kÎ I, îþ _{iÎ I} A_i Í A_k.

4. Dla dowolnego kÎ I,ìü _{iÎ I} A_i Í A_k.

5. ìü _{iÎ I} A_i Í îþ _{iÎ I} A_i.

« poprzedni punkt