| « poprzedni punkt | następny punkt » |
Definicja 1.5
Iloczynem lub przecięciem zbiorów A i B nazywamy zbiór A Ç B składający się z elementów, które należą równocześnie do A i do B,
x Î A Ç B wttw xÎ A i x Î B.
Rys. 1.5 Przecięcie zbiorów.
Przykład 1.7
(a) Niech A = {2i: i <16, i Î N }, B={3i: i<11, i ÎN}. Wtedy A Ç B zawiera tylko te liczby naturalne, które dzielą się zarówno przez 2 jak i przez 3 oraz nie są większe niż 30,
A Ç B = {0, 6, 12, 18, 24, 30} = {6i : i<6, i Î N}.
(b) Niech X będzie zbiorem wszystkich studentów PJWSTK, a Y zbiorem wszystkich kobiet. Wtedy X Ç Y jest zbiorem wszystkich studentek PJWSTK.
Na mocy definicji przecięcie zbiorów A Ç B jest zarówno podzbiorem A jak i podzbiorem B. W szczególnym przypadku takie przecięcie może być puste. Mówimy wówczas, że zbiory A i B są rozłączne.
Wprost z definicji iloczynu zbiorów wynika, że xÏ A Ç B, gdy nie jest spełniony chociaż jeden z warunków definicji , czyli
xÏ A Ç B wttw x Ï A lub x Ï B
Iloczyn zbiorów, podobnie jak suma, jest operacją łączną i przemienną a ponadto zachodzi prawo rozdzielności sumy względem iloczynu.
A Ç (B Ç C) = (A Ç B) Ç C (łączność)
A Ç B = B Ç A (przemienność)
A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C) (rozdzielność)
Wymienione prawa przypominają analogiczne zasady rządzące sumą i iloczynem liczb rzeczywistych. Tu jednak kończy się analogia. Następujące prawa nie mają odpowiednika w arytmetyce liczb rzeczywistych.
A Ç A = A (prawo idempotentności)
A Ç (A È B) = A, A = A È (A Ç B) (prawa absorbcji, lub inaczej pochłaniania)
A È (B Ç C) = (A È B) Ç (A È C) (prawo rozdzielności iloczynu względem sumy)
Ten ostatni związek między zbiorami zilustrujemy przy pomocy diagramów Venna.
Rys. 1.6 Ilustracja graficzna prawa rozdzielności.
Podobnie jak w przypadku sumy, inkluzje można "mnożyć" stronami. Zachodzi bowiem następujący fakt:
Lemat 1.4
Jeśli A Í C i B Í D, to A Ç B Í C Ç D.
Dowód. Załóżmy, że A Í C i B Í D . Jeżeli x Î A Ç B, to zgodnie z definicją przecięcia, x Î A i x Î B. Na mocy przyjętych założeń mamy więc x Î C i x Î D, czyli x Î C Ç D. Wynika stąd, że dowolny element zbioru A Ç B należy do zbioru C Ç D, czyli A Ç B Í C Ç D.J
Pytanie 6: Jak można scharakteryzować zawieranie zbiorów przy pomocy operacji przecięcia? (porównaj lemat 1.3).
Zobacz odpowiedź| « poprzedni punkt | następny punkt » |